圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1  已知点

证明  设直线

（1）       当焦点

如图1，

图1

（2）       当焦点

如图2，

图2

评注  特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线

解  这里

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆

解  这里

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线

图3

解 如图3，由题意知直线

例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知

解  设直线

例5（自编题）已知双曲线

解  这里

定理2  已知点

证明  设点

图4

（1）当焦点

所以较长焦半径

所以

（2）当焦点

图5

如图5，

所以

所以较长焦半径

所以

综合（1）（2）知，较长焦半径

特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距

注  由上可得，当焦点

例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线

解  由抛物线焦点弦的弦长公式为

例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆

（1）求椭圆的离心率；（2）若

解  （1）这里

（2）将

例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线

解  易知

例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线

解  因为

例10  （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆

图6

解  由方程可知，

设直线

的夹角为

所以四边形面积的最小值为

参考文献：

①郑丽兵。一道解析几何调研题的解答、拓广与应用。数学通讯。2010（11、12）（上半月）。

②玉邴图。两道高考题的统一推广。数学通讯。2010（11、12）（上半月）。

③万尔遐。曲线  何必与方程捆绑。数学通讯。2010（6）（下半月）。