高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程

【本讲主要内容】

    抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 

【知识掌握】

【知识点精析】

    1. 抛物线定义：

    平面内与一个定点

和一条直线

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

叫做抛物线的焦点，直线

叫做抛物线的准线，定点

不在定直线

上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。

    2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数

的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：

    

其中

为抛物线上任一点。

    3. 对于抛物线

上的点的坐标可设为

，以简化运算。

    4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线

的焦点

的直线与抛物线交于

，直线

与

的斜率分别为

，直线

的倾斜角为

，则有

，

，

，

，

，

，

。

    说明：

    1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

    2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

    3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

 

【解题方法指导】

    例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为

轴，且与圆

相交的公共弦长等于

，求此抛物线的方程。

解析：设所求抛物线的方程为

或

设交点

（y1>0）

则

，∴

，代入

得

∴点

在

上，

在

上

∴

或

，∴

故所求抛物线方程为

或

。

 

  例2. 设抛物线

的焦点为

，经过

的直线交抛物线于

两点，点

在抛物线的准线上，且

∥

轴，证明直线

经过原点。

解析：证法一：由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点

的直线

的方程为

    由

，消去

得

    设

，则

    ∵

∥

轴，且

在准线

上

    ∴

点坐标为

    于是直线

的方程为

    要证明

经过原点，只需证明

，即证

    注意到

知上式成立，故直线

经过原点。

    证法二：同上得

。又∵

∥

轴，且

在准线

上，∴

点坐标为

。于是

，知

三点共线，从而直线

经过原点。

    证法三：如图，

    设

轴与抛物线准线

交于点

，过

作

，

是垂足

    则

∥

∥

，连结

交

于点

，则

   

    又根据抛物线的几何性质，

    ∴

    因此点

是

的中点，即

与原点

重合，∴直线

经过原点

。

    评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。

【考点突破】

【考点指要】

    抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。

    考查通常分为四个层次：

    层次一：考查抛物线定义的应用；

    层次二：考查抛物线标准方程的求法；

    层次三：考查抛物线的几何性质的应用；

    层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。

    解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。

 

【典型例题分析】

  例3. （2006江西）设

为坐标原点，

为抛物线

的焦点，

为抛物线上一点，若

，则点

的坐标为（    ）

A.

                B.

               

C.

                D.

    答案：Ｂ

    解析：解法一：设点

坐标为

，则

   

          

，

    解得

或

（舍），代入抛物线可得点

的坐标为

。

    解法二：由题意设

，则

，

    即

，

，求得

，∴点

的坐标为

。

    评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。

 

  例4. （2006安徽）若抛物线

的焦点与椭圆

的右焦点重合，则

的值为（    ）

    A. －2                  B. 2               C. －4                  Ｄ. 4

    答案：D

    解析：椭圆

的右焦点为

，所以抛物线

的焦点为

，则

。

    评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。

 

【达标测试】

一. 选择题：

1. 抛物线

的准线方程为

，则实数

的值是（    ）

    A.

                   B.

                   C.

                D.

2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在

轴上，又抛物线上的点

，与焦点

的距离为4，则

等于（    ）

    A. 4               B. 4或－4                    C. －2                  D. －2或2

3. 焦点在直线

上的抛物线的标准方程为（    ）

    A.

                          B.

或

    C.

                             D.

或

4. 圆心在抛物线

上，并且与抛物线的准线及

轴都相切的圆的方程为（    ）

    A.

                    B.

    C.

                    D.

5. 正方体

的棱长为１，点

在棱

上，且

，点

是平面

上的动点，且点

到直线

的距离与点

到点

的距离的平方差为１，则点

的轨迹是（    ）

    A. 抛物线             B. 双曲线          C. 直线                D. 以上都不对

6. 已知点

是抛物线

上一点，设点

到此抛物线准线的距离为

，到直线

的距离为

，则

的最小值是（　　　）

    A. 5               B. 4               C.

             D.

7. 已知点

是抛物线

上的动点，点

在

轴上的射影是

，点

的坐标是

，则

的最小值是（    ）

    A.

                   B. 4        C.

                   D. 5

8. 过抛物线

的焦点的直线交抛物线于

两点，

为坐标原点，则

的值是（    ）

    A. 12                    B. －12                C. 3               D. －3

 

二. 填空题：

9. 已知圆

和抛物线

的准线相切，则

的值是＿＿＿＿＿。

10. 已知

分别是抛物线

上两点，

为坐标原点，若

的垂心恰好是此抛物线的焦点

，则直线

的方程为＿＿＿＿＿。

11. 过点（0，1）的直线与

交于

两点，若

的中点的横坐标为

，则

＿＿＿。

12. 已知直线

与抛物线

交于

两点，那么线段

的中点坐标是＿＿＿＿＿。

 

三. 解答题：

13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为

轴，抛物线上一点

到焦点的距离是5，求抛物线的方程。

14. 过点

（4，1）作抛物线

的弦

，恰被

所平分，求

所在直线方程。

15. 设点F（1，0），M点在

轴上，

点在

轴上，且

。

    ⑴当点

在

轴上运动时，求

点的轨迹

的方程；

    ⑵设

是曲线

上的三点，且

成等差数列，当

的垂直平分线与

轴交于E（3，0）时，求点

的坐标。

 

【综合测试】

一. 选择题：

1. （2005上海）过抛物线

的焦点作一条直线与抛物线相交于

两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（    ）

    A. 有且仅有一条                       B. 有且仅有两条

    C. 有无穷多条                           D. 不存在

2. （2005江苏）抛物线

上的一点

到焦点的距离为1，则点

的纵坐标是（   ）

    A.

                  B.

           C.

            D. 0

3. （2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为

，若它的一条准线与抛物线

的准线重合，则该双曲线与抛物线

的交点与原点的距离是（    ）

    A.

             B.

        C.

             D. 21

4. （2005全国Ⅰ）已知双曲线

的一条准线与抛物线

的准线重合，则该双曲线的离心率为（    ）

    A.

                B.

                   C.

         D.

5. （2004全国）设抛物线

的准线与

轴交于点

，若过点

的直线

与抛物线有公共点，则直线

的斜率的取值范围是（    ）

    A.

               B.

            C.

          D.

6. （2006山东）动点

是抛物线

上的点，

为原点，当

时

取得最小值，则

的最小值为（    ）

    A.

        B.

        C.

        D.

7. （2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程

，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积

的取值范围是（    ）

    A.

           B.

            C.

           D.

8. （2005北京）设抛物线

的准线为

，直线

与该抛物线相交于

两点，则点

及点

到准线

的距离之和为（   ）

    A. 8               B. 7               C. 10                    D. 12

 

二. 填空题：

9. （2004全国Ⅳ）设

是曲线

上的一个动点，则点

到点

的距离与点

到

轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10. （2005北京）过抛物线

的焦点

且垂直于

轴的弦为

，以

为直径的圆为

，则圆

与抛物线准线的位置关系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。

11. （2005辽宁）已知抛物线

的一条弦

，

，

所在直线与

轴交点坐标为（0，2），则

＿＿＿＿＿。

12. （2004黄冈）已知抛物线

的焦点在直线

上，现将抛物线沿向量

进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线

移到点

处，则平移后所得抛物线被

轴截得的弦长

＿＿＿＿＿。

 

三. 解答题：

13. （2004山东）已知抛物线C：

的焦点为

，直线

过定点

且与抛物线交于

两点。

    ⑴若以弦

为直径的圆恒过原点

，求

的值；

    ⑵在⑴的条件下，若

，求动点

的轨迹方程。

14. （2005四川）

    如图，

是抛物线

的焦点，点

为抛物线内一定点，点

为抛物线上一动点，

的最小值为8。

    ⑴求抛物线方程；

    ⑵若

为坐标原点，问是否存在点

，使过点

的动直线与抛物线交于

两点，且

，若存在，求动点

的坐标；若不存在，请说明理由。

15. （2005河南）已知抛物线

，

为顶点，

为焦点，动直线

与抛物线交于

两点。若总存在一个实数

，使得

。

    ⑴求

；

    ⑵求满足

的点